Le Pays du Quatre

Récit d’une situation-problème qui fait vivre aux élèves l’invention de la numération positionnelle.

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« David, mais pourquoi on écrit jamais le chiffre 10 ? »

C’est cette question, posée par un élève de CM2 après vingt minutes de recherche intense, qui résume toute la puissance du Pays du Quatre.

En cherchant à coder des quantités dans un « Pays du Quatre » imaginaire, mes élèves venaient de redécouvrir par eux-mêmes ce qui fait la logique profonde de notre numération : on n’écrit jamais le nombre de la base.

Comme le dit Odette Bassis, « les principes de la numération, le fait d’avoir à grouper, regrouper ne peuvent se comprendre que s’il y a des nécessités à le faire. » Et cette nécessité, impossible de l’imposer : il faut la faire vivre. La base 4 crée justement cette nécessité : impossible de compter “5”, puisqu’au pays du 4, on s’arrête à “4”. Il faut alors inventer un système de regroupement… et c’est là que le sens du codage numérique émerge.

La mise en situation : créer un besoin authentique

La consigne de départ :
« Imaginez que vous habitez dans un pays où on ne sait compter et écrire les nombres que jusqu’à quatre. Nous l’appellerons le Pays du 4. Vous avez un troupeau de moutons à échanger avec un autre village. Pour cela, vous devez savoir combien il y en a. Cherchez comment trouver combien vous avez de moutons afin de le transmettre à un autre village. »

J’ai constitué des « villages » : certains ont 30 moutons, d’autres 39. Chaque élève reçoit une étiquette indiquant son village et son nombre de moutons (qu’il ne doit jamais prononcer à voix haute). 4 élèves sont dans le village A (30 moutons) 4 élèves dans le village B (39 moutons) 4 élèves dans le village C (30 moutons) 4 autres dans le village D (39 moutons) etc. de telle manière à  ce que le village B échange avec le A, C avec le D etc.

Temps 1 – Recherche individuelle

Sur leur fiche, les élèves cherchent seuls comment transmettre leur message. Sans matériel, juste avec leur tête et un crayon.

Très vite, j’observe deux grandes stratégies :

• Les dessins : des traits, des ronds, parfois organisés par groupes
• Les tentatives d’écriture : « 4+4+4+4+4… » ou « 10 de 4 et encore… »

Mais rapidement, le problème surgit : « David, j’ai pas le droit d’écrire 10 ? » Non. « Et 5 ? » Non plus. Les voilà coincés.

Temps 2 – Comparaison en binômes  

Je leur demande de comparer avec leur voisin. Les discussions fusent :
« Mais pourquoi tu as dessiné ça ? »
« Attends, on pourrait faire des groupes… »
« Oui mais des groupes de combien ? »

Personne n’a encore trouvé de solution satisfaisante. Parfait. C’est le moment. Je ne suis pas intervenu durant cette phase : le blocage est didactiquement nécessaire. Les élèves doivent ressentir l’insuffisance de leurs stratégies spontanées (dessins, additions répétées) pour que le matériel arrive comme une ressource, pas comme une consigne de plus. Mon rôle ici ? Observer, circuler, noter mentalement qui propose quoi, sans valider ni invalider. Le milieu didactique doit résister juste assez pour créer le besoin.

L’inducteur matériel : quand les pinces à linge font basculer

Temps 3 : chaque membre d’un village se regroupe (les A ensemble, les B ensemble etc.)- Le matériel arrive

« Je vais vous donner des pinces à linge. Elles sont cassées, mais c’est juste pour représenter vos moutons. Ça va vous aider. Bien évidemment, on ne joue pas avec… »

Pourquoi des pinces à linge et pas des jetons ou des cubes ? Parce qu’elles s’accrochent. Cette affordance matérielle oriente discrètement vers le groupement sans l’imposer. Je ne dis jamais « faites des paquets » : c’est le matériel qui suggère, les élèves qui décident. Mon intervention se limite à légitimer l’outil, puis je me retire à nouveau pour observer.

Je distribue les pinces (30 pour certains groupes, 39 pour d’autres) sans prononcer le nombre. Les villages doivent maintenant communiquer : le village A avec le B, le C avec le D…

Immédiatement, les mains s’activent. Certains alignent les pinces. D’autres font des petits tas. Puis j’entends :
« On pourrait faire des paquets de 4 ! »

Bingo.

Temps 4 – L’obstacle du « tout défaire »

Mais voilà que surgit LE problème classique : après avoir fait 7 ou 8 paquets de 4, les élèves se retrouvent coincés. Ils défont, refont, essaient des paquets de 2, de 3…

J’interviens alors : « Stop ! Je vois que plusieurs villages ont fait des paquets de 4. C’est une excellente idée ! » Je marque un temps. « Maintenant, interdiction de défaire ces paquets. Ils sont sacrés. Si vous avez 7 paquets de 4, c’est qu’il y a quelque chose à faire avec ces 7 paquets, non ? »

Cette contrainte n’est pas arbitraire : elle empêche le retour en arrière et force l’itération du groupement. Sans elle, les élèves pourraient tourner en rond indéfiniment. C’est ce que Brousseau appelle une « variable de commande » : en modifiant les règles du jeu, je modifie les stratégies possibles. Ici, j’introduis volontairement un nouvel obstacle pour provoquer le passage au « paquet de paquets »

Le silence. Puis un déclic chez certains : « Ah ! On pourrait faire un paquet DE paquets ! »

Le grand paquet émerge.

Je leur donne alors des élastiques. L’idée se propage : 4 paquets de 4, ça fait un grand paquet. Et avec mes 30 moutons, j’ai 1 grand paquet (16 moutons), 3 paquets de 4 (12 moutons), et 2 moutons seuls.

Pour 39 moutons : 2 grands paquets, 1 paquet, 3 seuls.

Les savants voyageurs : pour faire circuler les idées

À ce stade, tous les groupes n’ont pas compris : les savants voyageurs entrent alors en jeu.

« Désignez dans votre village un savant. Sa mission : aller observer comment travaille le village D (ou F, ou H…). Il revient et explique ce qu’il a vu, mais sans toucher au matériel de son propre village. »

NB : Bien sûr ces savants voyageurs visitent uniquement un village qui possède le même nombre de moutons que leur propre village afin de ne pas parasiter les échanges de messages qui vont suivre.

Ce dispositif des « savants voyageurs » n’est pas qu’une astuce d’animation : il orchestre la circulation des savoirs entre pairs. Je choisis délibérément qui va où — non au hasard, mais en fonction de mes observations : tel groupe a besoin de voir les élastiques, tel autre a déjà l’idée mais manque de confiance. Mon rôle devient celui d’un « orchestrateur discret » : je ne transmets pas, mais j’organise les conditions de la transmission horizontale.

Les savants partent, observent, reviennent, expliquent. « Eux, ils ont fait des paquets de paquets avec des élastiques ! » L’idée circule, se discute, se confronte.

Quand je sens que l’organisation matérielle est stabilisée, je passe à l’écriture.

Du concret à l’abstrait : inventer l’écriture positionnelle

Temps 5 – Transmettre sans les mots

«Maintenant, vous devez écrire un message pour l’autre village. Mais attention : uniquement des chiffres et des mots. Pas de signes + ou ×. Et bien sûr, nous sommes au Pays du Quatre !»

Les premiers messages arrivent :
« 1 grand paquet 3 paquets et 2 seuls » (pour 30)
« 2 grands paquets 1 paquet et 3 seuls » (pour 39)

Je les écris au tableau. « C’est très clair ! Mais si on devait envoyer ce message, sans mots, comment on ferait ? »

Des propositions émergent :
« 1p 3p 2s » — certains ne voient pas comment faire sans lettres pour distinguer les types de paquets.

• 1
• 3
• 2  

Cette proposition révèle quelque chose d’essentiel : ces élèves ont compris la hiérarchie des groupements. Pour eux, le « 1 » représente UN grand paquet, donc il devrait visuellement dominer. La taille devient un marqueur de valeur. Mais ils n’ont pas encore tout à fait saisi le sens de la position des chiffres !

Le moment de bascule

Je valorise leur raisonnement, puis je pose alors LA question : « Quand j’écris le nombre 7 625, est-ce que je grossis mes chiffres au fur et à mesure ? »

Cette question n’est pas venue spontanément : elle est le fruit de mes observations pendant la recherche. J’ai vu qui proposait les tailles variables, j’ai attendu que l’idée émerge suffisamment pour la soumettre à confrontation. Le timing est décisif : trop tôt, la question n’aurait pas de prise ; trop tard, certains se seraient enfermés dans leur proposition. C’est ce que j’appelle « la dévolution contrôlée » : je ne donne pas la réponse, mais je crée le déséquilibre cognitif qui va la faire émerger

Silence.

« Pourquoi je ne le fais pas ? Et surtout, pourquoi je n’en ai pas besoin ? »

Les regards pétillent. Certains murmurent : « Parce que… c’est la place qui compte ? »

« Exactement. Dans 132, le 1 est à gauche, donc il représente les grands paquets. Le 3 est au milieu, donc les paquets. Le 2 est à droite, donc les seuls. C’est la position qui donne le sens. »

La numération positionnelle vient d’être reconstruite.

Et le chiffre 4 dans tout ça ?

En fin de séance, je pose une dernière question : « Au fait, dans tous vos messages, avez-vous déjà écrit le chiffre 4 ? »

Les élèves vérifient. Non. Jamais.

« Pourquoi ? »

Un long moment de réflexion, puis : « Parce que dès qu’on a 4, ça fait un paquet ! »

« Exactement. Comme chez nous : dès qu’on a 10 unités, ça fait une dizaine. Le chiffre 10 n’existe pas. On l’écrit avec deux chiffres : 1 et 0. »

Cette fois, ça fait tilt. Le système décimal cesse d’être une évidence floue pour devenir une logique construite.

Séance 2 : quand le zéro devient nécessaire

La séance suivante, je relance : « Vous avez maintenant 28 moutons au Pays du Quatre. Codez cette quantité. »

Les élèves se lancent individuellement puis se regroupent par 4 pour échanger.  Ils manipulent (certains n’ont plus besoin de pinces).
Puis le blocage :
« On a 1 grand paquet, 3 paquets… et rien après. »

« Comment faire  ? »

« 13 ? »

« Non, 13, ça pourrait être 1 paquet et 3 seuls »

Le problème est posé. Les élèves cherchent. Certains proposent un trait, un espace… Enfin certains pensent au zéro et entrainent toute la classe avec eux.

Puis je raconte :

« Vous venez de réinventer ce que les Indiens ont inventé il y a plus de 1500 ans. Ils avaient exactement le même problème que vous : comment écrire une quantité quand il n’y a rien à une certaine place ?

 Les anciens Babyloniens laissaient un vide pour marquer une absence de chiffre, mais ce vide n’était pas encore un nombre. Vers le Ve siècle, les savants indiens ont eu une idée nouvelle : créer un symbole pour dire « il n’y a rien à cette place ». D’abord un espace, puis un point, et enfin un petit cercle qui entoure le rien : le zéro, du mot sanskrit śūnya, « vide » . 

Ce symbole a été transmis aux Arabes, puis introduit en Europe par Fibonacci en 1202. Grâce à lui, notre numération positionnelle devient possible : sans zéro, pas de 102 ni de 10 000. »

Les élèves mesurent soudain l’ampleur de cette invention. Le zéro n’est pas « rien » : c’est un outil indispensable pour que la position fasse sens.

Réinvestissement : et si on changeait de pays ?

Pour consolider, je propose ensuite : « Et si nous vivions au Pays du 5 ? Ou au Pays du 6 ? »

Les élèves codent, décodent, comparent. Ils comprennent alors l’invariant : au Pays du 4, on groupe par 4. Au Pays du 5, par 5. Au Pays du 10… par 10.

« Nous vivons au Pays du 10. Nous avons 10 doigts, et ça vient sûrement de là. »

La boucle est bouclée. Le système décimal n’est plus une évidence naturelle, mais un choix culturel et historique. Un choix génial, construit par l’humanité pour mesurer et symboliser le monde.

La posture de l’enseignant : entre retrait et relance

Dans cette situation, mon rôle oscille constamment entre effacement et intervention ciblée. Je ne montre jamais, mais je ne laisse pas non plus les élèves errer sans fin. Mes interventions obéissent à trois principes :
1. Observer avant d’agir : tant que la recherche est productive (même dans l’erreur), je ne dis rien.
2. Intervenir sur le milieu, pas sur la solution : j’ajoute une contrainte (interdire de défaire), je distribue un outil (élastiques), je pose une question déstabilisante, mais je ne dis jamais « faites comme ceci ».
3. Institutionnaliser au bon moment : Quand une idée émerge chez quelques-uns, je la mets en lumière pour qu’elle devienne un objet de débat collectif. Cette posture demande une écoute constante et une certaine aisance avec l’incertitude. Tous les élèves n’avancent pas au même rythme, et c’est précisément cette hétérogénéité qui fait vivre la réflexion collective.

Ce que cette situation apporte vraiment

Elle crée une nécessité authentique. Les élèves ne manipulent pas pour manipuler : ils cherchent une solution à un problème de communication.

Elle provoque une décentration. En sortant de la base 10, les automatismes ne fonctionnent plus. Il faut penser autrement.

Elle articule concret et abstrait. Les pinces soutiennent la conceptualisation, mais l’enjeu reste la création d’un code symbolique.

Elle relie histoire et cognition. La découverte du zéro par les élèves rejoint celle de l’humanité. C’est épistémologique !

Comme le rappelle Odette Bassis, cette démarche peut commencer dès le CP et se poursuivre tout au long des cycles 2 et 3. Au cycle 3, la réflexion historique trouve parfaitement sa place et renforce la compréhension des enjeux

Et vous, dans votre classe ?

Avez-vous déjà proposé à vos élèves de “changer de base” ?
Comment les amenez-vous à ressentir la nécessité du zéro ou du groupement ?

Cette situation demande deux à trois séances de 45 minutes à 1 heure, peu de matériel — quelques pinces à linge, des élastiques, du temps pour chercher — mais une posture de guide. L’enseignant ne montre pas : il accompagne, questionne, relance.

Quelques points de vigilance :

• Laisser chercher avant d’introduire le matériel.
• Interdire de défaire les paquets de 4.
• Utiliser les savants voyageurs pour faire circuler les idées.
• Ne pas nommer le zéro avant qu’il soit inventé.

En conclusion : du jeu à la pensée

Le Pays du Quatre n’est pas une activité ludique de plus. C’est une situation-problème qui redonne à la numération son épaisseur historique et conceptuelle. Elle transforme la classe en un laboratoire où se rejoue, à hauteur d’enfant, l’histoire du savoir. Exactement ce dont les élèves ont besoin pour comprendre vraiment, et non plus seulement appliquer.

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Cet article s’appuie sur les travaux d’Odette Bassis (Concepts clés et situations-problèmes en mathématiques, Tome 1)

Cette séance a été réalisée de nombreuses fois avec des enseignants stagaires en formation initiale ainsi qu’avec des enseignants expérimentés en formation continue.